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2008/08/20

でっかい数の捉え方

Photo その昔、どっかの王国で、チェスが発明されたそうな。で、このゲームに王様がはまってしまい、発明した家臣に「褒美をとらすぞ、何でもゆうてみい」てな事を言ったとか。

すると、その家臣は、「8×8マスの最初の1マスに1円玉1個、次のマスに¥2、次に¥4・・・と順次倍にして64マスまで乗せてくれればOKです・」といったそうな。これを聞いた王様は、欲の無いヤツじゃのうと、いたく感心し、それなら安いもんだと承諾した。

で、実際に数えだして仰天した、1、2、サーンじゃなかった4、8、16、32、64、128、256、512、1024・・・、メモリ容量なんかでおなじみの2進数の桁上がりってヤツだ。この程度なら11マスつまり10桁でも1024円だから、せいぜいラーメン1・2杯分、まだ仰天しないかもしれない。

でも、64マス目は263だ、その合計は1850京円というドンでもない数字になる。どれくらいトンでもないかと言うと・・・・、もしこの金を全部1万円札で貰ったとしても、それでも1万円札1850兆枚だ。

じゃ、数えよう。いち、に、さーん(アホ?)、し・・・・と、仮に1枚当たり1秒で数えたとすると、1分で60まんえん、1時間で3600万円・・・うひひ、すげー、・・・1日で86,400万円。は、はちおくろくせんまんえん!おおー、フェラーリとロールスを纏め買いできるぜ。(にしても疲れるな。)

1週間で、604,800万円、ろくじゅうおくよんせんはっぴゃくまんえん。すげー大金だ、ハアハア。1ヶ月後、2,592,000万円、えーと、にひゃくごじゅうきゅうおくにせんまんえん、よく分からんがとにかく大金だ。

1年後幾ら数えられたかというと、31,536,000万円さんぜんひゃくごじゅうさんおくろくせんまんえん。あれれまだ億の単位?じゃ10年後は?でやっと3兆1,536億円だ。全部数えるのにナナナント5,866年、約6000年かかるではないか。

では、この1秒で1万円使っても6000年もかかる大金は身近な数字にするとどうなるか、そうね、日本国の国地方合わせた借金が約1000兆円だからその倍くらいだ。てことは、1秒で1万円を自動的に生み出す機械を日本政府が手に入れたとしても、借金を返すのに3000年もかかっちゃうのだ。

国民一人当たりにすると約800万円だから、この日本国の借金を国民に返すと、1世帯平均3人として2400万円、一家に1台フェラーリが買えてしまうのだ、おおー日本国民はなんとリッチなことか。

てことは、逆に言えば、日本国政府は、一世帯当たり平均してフェラーリ1台分を召し取って返さないってことになるな。そう考えるとトンデモネー話だ。でもまあ、今日の話はそういうことではなくて、大局観の話なのだ。ソレを数字に例えてみたというわけ。

物事を理解するのに、数を例に取れば、数字とその後に続くゼロの数で量が表現されるけれど、影響があるのは数字よりもゼロの数つまり桁である事は誰しも分かってはいるものの、数字に惑わされがちだ。

1000兆円を語るとき、1000ではなく先ず兆があって、兆がとんでもない桁と分かった上で、ソレが1000個かあと、ぶったまげよう。なんたって1兆円は1億円の1万倍なのだ、スゲーを通り越して、なんだか分からんトンデモナイ数なのだ。

トンデモナイ数とか量になると、ほとんど理解の範囲を超えてしまうけれど、1秒ごとに1万円が出てくるドラエモンのポケットを手に入れて、一日中毎秒1万円を使っても、100年で30兆円しか使えない。

もし個人がそんな大金を手にしたら、万札をそこいら中にばら撒いて捨てても、一生かかっても捨てきれないし、使い切れない。ビル・ゲイツは一代で8兆円の資産を築いたけれど、いったいどーやって使うんだろうか。

なんて事は大きなお世話だろー。ではチョイト話を最初に戻して、1+2+4+8+16・・・+262+263=1850京なんて数字、一体どーやって計算するのか、考えただけでもウンザリしそうだけど、ではど-やって?

さて、ここからが物事大きく俯瞰して見ましょうと言う話になるのでありまして、ナニそれほどたいそうな事ではないのだ。では・・・、

1マス目の1から64マス目まで2の累乗を足した合計をSとすると

S=1+2+4+8+・・・・・・262+263

式の両辺を2倍すると、

S=2+4+8+16+・・・・・・263+264 

となるから、2番目の式から1番目の式を引くと、

S-S=S=264-1

となる、どうです簡単でしょ。なに2の64乗なんて計算がメンドクサイ?あ、そー。じゃ、これが10の何乗になるか大まかに計算してみよう。210はおよそ1,000だからこれは103だ(誤差2.4%)。

なので、220=2(10×2)=(2102およそ(1032=となる。これは、10を6回掛け合わせた数つまり100万だ。同じように260=(2106=およそ(1036=1018。だから264=24×260=およそ16×1018、と言う事は16の下にゼロが18個つまり1600京となる。(正確には1845京)

以上は、カール・セーガンの「百億の星と千億の生命」を参考にした。この本、カール・セーガンと聞けば惑星科学のお堅い本かと思われようが、実は自然環境全般から人間の肉体や精神にまで話が及ぶエッセイだ。

残念ながら96年に世を去ったが、その数年前には東京で講演し、温暖化や核により地球のバランスが狂えば、地球は火星や金星のようになる可能性を指摘し、その防止策を講じる事の重要性を説いた。

誰もが知っているカール・セーガンだと思っていたら、愚息は誰それ?と聞いた。80年代初め頃TVのコスモス・シリーズで一躍有名になったけれど、考えたら20年以上も前の話だ。学者のイメージが強かったが、映画にもなったSF小説「コンタクト」の作者とは知らなかった。

ブログへの記事をきっかけに調べたら、アメリカ学会の評価は厳しく、全米科学アカデミーには入れなかったそうだ。いづれにしても、物事、大きく俯瞰して見る事の大切さと、そして大雑把な見方の方が得てして誤差が少なかったり、実態把握が正確であるという事を言いたかった。ではまた・・・。

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8/21追記】

この記事アップ後、私は得意げに、愚息にS=1+2+4+8+・・・・・・262+263はどーやって計算するかと言ったら、即座に、あ、答えはS=264-1と答えた。

おー、オマエは天才かと言ったら「トーチャン、ナニ言ってんの、これ受験生の常識だよ、分かんねーヤツなんていないよ。そんな事ブログに書いたの?」と、そーか、そー言えば大昔数Ⅱか数Ⅲで習ったな(汗)。

でも、まーいーや。大昔の復習と言う事にしておこう。

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